Kumulator I - Wachstumsprozesse bei 1 Zustand


Bei Wachstumsprozessen lassen sich vier Grundtypen unterscheiden (Elschenbroich & Seebach 2016, Schmid o. Jg.). Der einfachste Fall von Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate konstant ist. In einem Behälter A sind z.B. zu Beginn 10 l vorhanden und es kommen pro Zeiteinheit 5 l hinzu, also vA = 5. Wir betrachten das Wachstum auf dem Zeitintervall [0; 20] und erhalten lineares Wachstum  (Abb. 1).

Ist die Änderungsrate proportional zum vorhandenen Bestand, dann haben wir die einfachste Form der Rückkopplung. Wenn z.B. eine Bakterienkultur A zu Beginn 10 Bakterien enthält und pro Zeiteinheit p= 20 % des Bestandes hinzukommen, dann ist also vA = p*A. Es liegt ein exponentielles Wachstum vor (Abb. 2). Offensichtlich kann ein derartiges Wachstum aber nur über kurze Zeit erfolgen, weil sonst jede Schranke überschritten würde.

Abb. 1

Abb. 2

Nun soll im Modell eine bestimmte Schranke S nicht überschritten werden. Dazu gehen wir jetzt davon aus, dass die Änderungsrate nicht mehr proportional zum aktuellen Bestand A, sondern proportional zum noch möglichen ‚Rest‘, dem sogenannten Sättigungsmanko S-A ist. So kann die Schranke S nicht überschritten werden. Wenn z.B. auf einer kleinen Insel A zu Beginn 10 Schafe wild leben und diese Insel Futter für 100 Schafe bietet, dann ist für  p = 20% die Änderungsrate vA = p*(S-A) und wir erhalten ein beschränktes Wachstum (Abb. 3). In diesem Modell ist die stärkste Zunahme zu Beginn und wird dann immer schwächer. 

In der Realität ist aber eher festzustellen, dass das Wachstum zunächst stark zunimmt und fast exponentiell verläuft und erst nach einer gewissen Zeit eher beschränkt verläuft. Das heißt, die Bestandsfunktion sollte in einer S-Form verlaufen. Dies wird erreicht, indem die Änderungsrate sowohl proportional zum aktuellen Bestand als auch proportional zum aktuellen Sättigungsmanko angesetzt wird. Für dieses Wachstum wurde von Verhulst 1837 die Bezeichnung logistisches Wachstum eingeführt, gelegentlich wird es auch organisches Wachstum genannt  (Abb. 4). 
Die Änderungsrate ist dann vA = p*(S-A)*A/S (oder es wird vA = q*(S-A)*A angesetzt mit dem neuen Prozenzwert q = p/S).

Abb. 3

Abb. 4

Diese vier Wachstumsfunktionen wurden hier kumulativ entwickelt. In den beiden ersten Fällen ist es einfach, dann eine Vermutung für den zugehörigen Funktionsterm aufzustellen und zu verifizieren. Will man in den beiden anderen Fällen den Funktionsterm herleiten, müsste man Differenzialgleichungen aufstellen und lösen (was hier nicht unser Thema ist).

Hier ist bislang im Koordinatensystem nur der Bestand angezeigt worden. Den Vorgang des Kumulierens kann man schön visualisieren, wenn man auch die Änderungen anzeigen lässt und noch die Option Kumulation visualisieren aktiviert. Dann ist der jeweils letzte Zuwachs in einem Steigungsdreieck sichtbar. Schaltet man bei diesem Dreieck den Spur-Modus ein, können wir mit der Option  Einzelschritte alle Kumulationen visualisieren (Abb. 5).

 

Abb. 5  Visualisierung der Kumulation bei konstantem Zuwachs 

 


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